根軌跡例題與控制系統分析

在控制系統的設計中，根軌跡例題是一個重要的分析工具。本文將通過根軌跡例題來探討開環傳遞函數與相位超前補償器的應用。首先，我們將分析開環傳遞函數 (G(s) = \dfrac{20}{s(s^{2}+4s+5)}) 的增益交越頻率 (\omega_{m}) 及其相位裕度 (PM)。接著，我們將探討如何在保持 (\omega_{m}) 不變的情況下，通過相位超前補償器 (C(s) = \dfrac{1+scT}{1+sT}) 來增加相位裕度至 (\dfrac{\pi}{6})。

增益交越頻率與相位裕度分析

在控制系統中，增益交越頻率 (\omega_{m}) 是指開環傳遞函數的增益為 0 dB 時的頻率。相位裕度 (PM) 則是指在此頻率下，相位與 -180 度之間的差距。以下是計算 (\omega_{m}) 和 (PM) 的步驟：

1. 計算增益交越頻率 (\omega_{m})
   將 (G(s)) 轉換至頻率域 (G(j\omega))，並求解 (|G(j\omega)| = 1) 時的頻率。

2. 計算相位裕度 (PM)
   在 (\omega_{m}) 下，計算 (G(j\omega)) 的相位，並與 -180 度相減。

相位超前補償器的應用

相位超前補償器 (C(s)) 可以用來增加系統的相位裕度，從而提高系統的穩定性。以下是設計 (C(s)) 的步驟：

1. 確定補償器參數
   根據 (\omega_{m} = \dfrac{1}{T\sqrt{c}}) 的關係，選擇合適的 (T) 和 (c)。

2. 計算新的相位裕度
   在保持 (\omega_{m}) 不變的情況下，調整 (C(s)) 的參數，使相位裕度增加至 (\dfrac{\pi}{6})。

系統穩定性分析

為了進一步驗證系統的穩定性，我們可以使用以下兩種方法對開環傳遞函數 (G(s) = \dfrac{1}{2s^{4}+s^{3}+3s^{2}+5s+9}) 進行分析：

詳細計算步驟

1. 計算增益交越頻率 (\omega_{m})

將 (G(s)) 轉換至頻率域：

[
G(j\omega) = \dfrac{20}{j\omega(j\omega)^{2}+4j\omega+5}
]

求解 (|G(j\omega)| = 1)：

[
\left|\dfrac{20}{j\omega(j\omega)^{2}+4j\omega+5}\right| = 1
]

通過計算，可以求得 (\omega_{m}) 的值。

2. 計算相位裕度 (PM)

在 (\omega_{m}) 下，計算 (G(j\omega)) 的相位：

[
\angle G(j\omega) = \angle \dfrac{20}{j\omega(j\omega)^{2}+4j\omega+5}
]

相位裕度 (PM) 為：

[
PM = \angle G(j\omega) – (-180^\circ)
]

3. 設計相位超前補償器 (C(s))

根據 (\omega_{m} = \dfrac{1}{T\sqrt{c}})，選擇 (T) 和 (c) 的值。例如，若 (\omega_{m} = 2)，則：

[
2 = \dfrac{1}{T\sqrt{c}}
]

選擇 (T = 0.5)，則 (c = 4)。

4. 計算新的相位裕度

在保持 (\omega_{m}) 不變的情況下，調整 (C(s)) 的參數，使相位裕度增加至 (\dfrac{\pi}{6})。

5. 系統穩定性分析

勞斯穩定判別法

構建勞斯表：

[
\begin{array}{c|cccc}
s^4 & 2 & 3 & 9 \
s^3 & 1 & 5 & 0 \
s^2 & \dfrac{1 \cdot 3 – 2 \cdot 5}{1} & 9 & 0 \
s^1 & \dfrac{(-7) \cdot 5 – 1 \cdot 9}{-7} & 0 & 0 \
s^0 & 9 & 0 & 0 \
\end{array}
]

根據勞斯表的符號變化，判斷系統的穩定性。

赫爾維茨穩定判別法

計算赫爾維茨行列式：

[
\Delta_3 = \begin{vmatrix}
1 & 5 & 0 \
2 & 3 & 9 \
0 & 1 & 5 \
\end{vmatrix}
]

根據行列式的值，判斷系統的穩定性。

結論

通過根軌跡例題，我們可以深入理解控制系統的設計與分析。增益交越頻率與相位裕度的計算，以及相位超前補償器的應用，都是提高系統穩定性的重要手段。此外，勞斯與赫爾維茨穩定判別法為系統穩定性提供了可靠的驗證方法。

根軌跡例題與控制系統分析

在控制系統中，根軌跡例題是分析系統穩定性和性能的重要工具。根軌跡法通過繪製系統極點隨增益變化的軌跡，幫助工程師理解系統的動態行為。本文將通過具體例題，探討根軌跡的應用及其在系統設計中的重要性。

根軌跡的基本概念

根軌跡是當系統增益 ( k ) 從 ( 0 ) 到 ( \infty ) 變化時，閉環系統極點的軌跡。通過分析根軌跡，可以判斷系統的穩定性、響應速度以及超調量等性能指標。

例題分析

考慮一個簡單的二階系統，其開環傳遞函數為：

[
G(s) = \frac{k}{s(s+1)}
]

閉環傳遞函數為：

[
T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} = \frac{k}{s^2 + s + k}
]

根軌跡的極點位置由以下方程決定：

[
s^2 + s + k = 0
]

隨著 ( k ) 的變化，極點的位置將在複平面上移動，形成根軌跡。

根軌跡的繪製步驟

1. 確定極點和零點：開環傳遞函數的極點和零點是根軌跡的起點和終點。
2. 計算漸近線：當 ( k ) 趨於無窮大時，根軌跡將趨於特定的漸近線。
3. 確定分離點：根軌跡在複平面上的分離點，通常是極點和零點之間的某個位置。
4. 判斷穩定性：通過觀察根軌跡是否進入右半平面，判斷系統的穩定性。

根軌跡與系統性能

從表中可以看出，隨著 ( k ) 的增加，系統的極點逐漸遠離虛軸，系統的穩定性提高，但振盪頻率也隨之增加。

根軌跡在系統設計中的應用

根軌跡法不僅用於分析系統的穩定性，還可以用於設計控制器。例如，通過調整系統的極點位置，可以改善系統的響應速度和超調量。在實際應用中，根軌跡法常與其他控制方法結合使用，如超前補償和滯後補償，以實現更好的控制效果。

超前補償與根軌跡

超前補償器的引入可以改變系統的根軌跡，使其極點向左移動，從而提高系統的穩定性和響應速度。通過調整補償器的參數，可以精確控制極點的位置，實現系統的優化設計。

總結

根軌跡法是控制系統分析與設計的重要工具。通過具體例題的分析，我們可以更好地理解根軌跡的繪製過程及其在系統設計中的應用。掌握根軌跡法，對於提高控制系統的性能和穩定性具有重要意義。

根軌跡例題：如何利用Matlab進行設計與分析？

根軌跡是控制系統設計中的一個重要工具，它能夠幫助工程師分析系統的穩定性與性能。本文將通過一個根軌跡例題，介紹如何利用Matlab進行設計與分析。

根軌跡的基本概念

根軌跡是系統的極點隨著增益變化的軌跡。通過根軌跡，我們可以直觀地看到系統的穩定性與動態響應。以下是一個簡單的根軌跡例題：

系統傳遞函數

假設我們有一個開環傳遞函數：

$$
G(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)}
$$

根軌跡繪製

在Matlab中，我們可以使用以下代碼繪製根軌跡：

matlab
num = [1];
den = [1 3 2 0];
sys = tf(num, den);
rlocus(sys);

分析結果

通過根軌跡圖，我們可以觀察到系統的極點隨著增益K的變化而移動。以下表格總結了不同K值下的系統穩定性：

進一步設計與優化

在Matlab中，我們還可以使用其他工具進行系統設計與優化。例如，使用sisotool進行控制器設計，或者使用step函數分析系統的階躍響應。

matlab
sisotool(sys);
step(sys);

通過這些工具，我們可以進一步優化系統的性能，確保系統在不同條件下都能穩定運行。

根軌跡例題：何時需要使用超前或滯後補償器？

在控制系統設計中，根軌跡例題：何時需要使用超前或滯後補償器？是一個常見的問題。根軌跡法是一種用於分析閉環系統穩定性和性能的圖形化方法。當系統的根軌跡不符合設計要求時，補償器的使用就顯得尤為重要。

超前補償器

超前補償器通常用於改善系統的瞬態響應。當系統的根軌跡顯示出過大的阻尼或過慢的響應時，超前補償器可以通過增加系統的相位裕度來改善這些問題。

使用情況

滯後補償器

滯後補償器則主要用於改善系統的穩態誤差。當系統的根軌跡顯示出過大的穩態誤差時，滯後補償器可以通過增加系統的增益來減少這些誤差。

使用情況

在實際應用中，選擇使用超前或滯後補償器需要根據系統的具體情況進行分析。通過根軌跡法，可以更直觀地理解系統的行為，並做出相應的設計決策。

根軌跡例題：為何在控制工程中如此重要？

在控制工程中，根軌跡例題：為何在控制工程中如此重要？這個問題經常被提及。根軌跡是一種用於分析閉環系統穩定性和動態響應的圖形化工具。它通過繪製系統極點隨增益變化的軌跡，幫助工程師直觀地理解系統行為。

根軌跡的基本概念

根軌跡是由系統的開環傳遞函數決定的。當增益從零變化到無窮大時，閉環極點在複平面上的移動軌跡就是根軌跡。通過分析根軌跡，我們可以判斷系統的穩定性、阻尼比、自然頻率等關鍵參數。

根軌跡的應用

根軌跡在控制系統設計中有廣泛的應用，以下是幾個主要方面：

根軌跡的繪製步驟

繪製根軌跡通常包括以下步驟：

1. 確定開環傳遞函數：首先需要知道系統的開環傳遞函數。
2. 計算極點和零點：找出開環傳遞函數的極點和零點。
3. 繪製根軌跡：根據根軌跡的規則，繪製極點隨增益變化的軌跡。
4. 分析系統性能：通過根軌跡，分析系統的穩定性、阻尼比等參數。

根軌跡例題在控制工程中的重要性不言而喻，它不僅提供了一種直觀的分析方法，還為系統設計和優化提供了有力的工具。